الثقافة العامة: مشكلة السكرتيرة: استكشاف نظرية التوقف الأمثل

الاثنين، 29 يوليو 2024

مشكلة السكرتيرة: استكشاف نظرية التوقف الأمثل

مشكلة السكرتيرة

مشكلة السكرتيرة، والمعروفة أيضًا باسم "مشكلة الزواج" أو "مشكلة التوقف الأمثل"، هي مشكلة كلاسيكية في نظرية الاحتمالات واتخاذ القرار. تتضمن هذه المشكلة اختيار أفضل مرشح لمنصب (أو أفضل خيار) من بين سلسلة من المتقدمين (أو الفرص) الذين يتم تقديمهم واحدًا تلو الآخر.

هذه المشكلة لها آثار بعيدة المدى في مجالات متعددة مثل الرياضيات، الاقتصاد، علوم الكمبيوتر، وسيناريوهات اتخاذ القرار في الحياة الواقعية. تهدف هذه المقالة إلى استكشاف أصول مشكلة السكرتيرة، وصياغتها الرياضية، والاستراتيجية المثلى لحلها، وتطبيقاتها في العالم الحقيقي.

الأصول والخلفية التاريخية

تم تقديم مشكلة السكرتيرة لأول مرة في ستينيات القرن العشرين وسرعان ما أصبحت موضوعًا مثيرًا للاهتمام بين علماء الرياضيات والإحصاء. نشأت هذه المشكلة من حاجة أصحاب العمل إلى توظيف أفضل مرشح من مجموعة من المتقدمين الذين تتم مقابلتهم بشكل متسلسل. بمجرد رفض أحد المتقدمين، لا يمكن استدعاؤه مرة أخرى، مما يجعل عملية اتخاذ القرار غير قابلة للعكس.

تمت دراسة المشكلة في البداية من قبل عالم الرياضيات ميريل م. فلود في عام 1949 ثم صاغها مارتن جاردنر رسميًا في عموده في مجلة ساينتفك أمريكان في عام 1960. بمرور الوقت، تم توسيع المشكلة وتعميمها لتشمل سياقات مختلفة، لكن المبادئ الأساسية ظلت كما هي.

الصياغة الرياضية

يمكن صياغة مشكلة السكرتير رياضيًا على النحو التالي:

· تسلسل المتقدمين: هناك nnn متقدمين، يمكن تصنيف كل منهم بشكل موضوعي من الأفضل إلى الأسوأ.

· الملاحظة المتسلسلة: تتم مقابلة المتقدمين واحدًا تلو الآخر بترتيب عشوائي.

· القرار الفوري: بعد مقابلة كل متقدم، يجب اتخاذ قرار إما بتوظيف هذا المتقدم أو رفضه والاستمرار مع المتقدم التالي.

· عدم الرجوع: بمجرد رفض المتقدم، لا يمكن إعادة النظر فيه.

· الهدف: الهدف هو تعظيم احتمال اختيار أفضل متقدم.

الاستراتيجية المثلى

الاستراتيجية المثلى لمشكلة السكرتير تُعرف باسم "قاعدة 37%" أو "استراتيجية 1/e"، حيث eee هي أساس اللوغاريتم الطبيعي. تتضمن هذه الاستراتيجية مرحلتين رئيسيتين:

· مرحلة الملاحظة: إجراء المقابلات ورفض أول ne\frac{n}{e}en متقدمين (حوالي 37% من إجمالي المتقدمين) دون اختيار أي منهم. تُستخدم هذه المرحلة لجمع المعلومات حول جودة المتقدمين.

· مرحلة الاختيار: بعد مرحلة الملاحظة، حدد المتقدم التالي الذي يكون أفضل من جميع المتقدمين السابقين الذين تمت ملاحظتهم. إذا لم يتم العثور على مثل هذا المتقدم، يتم اختيار المتقدم الأخير.

رياضيًا، يمكن التعبير عن الاستراتيجية على النحو التالي:

· تحديد العتبة: احسب عدد المتقدمين الذين سيتم مراقبتهم ورفضهم، kkk، حيث k=⌊ne⌋k = \left\lfloor \frac{n}{e} \right\rfloork=⌊en⌋.

· المقابلة والرفض: إجراء المقابلة ورفض المتقدمين الأوائل في kkk.

· اختيار الأفضل: من المتقدمين k+1k+1k+1 فصاعدًا، اختر المتقدم الأول الذي يكون أفضل من جميع المتقدمين السابقين في kkk.

احتمال النجاح باستخدام هذه الاستراتيجية هو تقريبًا 1e\frac{1}{e}e1 أو حوالي 37%.

إثبات الاستراتيجية المثلى

لإثبات أن قاعدة 37% هي الأمثل بالفعل، يمكننا استخدام مفهوم الاحتمال الشرطي والاستدلال الرياضي.

· الاحتمال الشرطي: يعتمد احتمال اختيار أفضل متقدم على موضع أفضل متقدم في التسلسل. دعنا نشير إلى موضع أفضل متقدم بـ mmm

· احتمال النجاح: إذا كان أفضل متقدم من بين المتقدمين الأوائل في kkk، فسيتم رفضه. إذا كان أفضل متقدم من بين المتقدمين المتبقين n−kn-kn−k، فسيتم اختياره إذا وفقط إذا كان أفضل من جميع المتقدمين الأوائل في kkk احتمال حدوث هذا الحدث هو km\frac{k}{m}mk

· القيمة المتوقعة: يمكن حساب الاحتمال المتوقع للنجاح من خلال جمع الاحتمالات لكل موضع ممكن لأفضل متقدم وقسمتها على العدد الإجمالي للمتقدمين nnn

من خلال تعظيم هذا الاحتمال المتوقع، يمكن إظهار أن kkk الأمثل هو تقريبًا ne\frac{n}{e}en

المتغيرات والامتدادات

تم توسيع مشكلة السكرتير وتعميمها على سيناريوهات مختلفة، ولكل منها تحدياتها واستراتيجياتها الفريدة. تتضمن بعض المتغيرات البارزة ما يلي:

· عدد غير معروف من المتقدمين: في بعض الحالات، يكون العدد الإجمالي للمتقدمينnnn غير معروف. تتضمن استراتيجيات هذا المتغير قواعد إيقاف تكيفية تستند إلى المتقدمين الذين تمت مراقبتهم.

· اختيارات متعددة: بدلاً من اختيار متقدم واحد، قد يكون الهدف هو اختيار العديد من المتقدمين الأوائل. يتطلب هذا المتغير تعديلات على قاعدة الإيقاف لتحقيق التوازن بين مرحلتي المراقبة والاختيار.

· المتقدمون المرجحون: إذا كان المتقدمون لديهم أوزان أو قيم مختلفة، فيجب أن تأخذ الاستراتيجية في الاعتبار هذه الاختلافات، مما يؤدي غالبًا إلى قواعد توقف مثالية أكثر تعقيدًا.

· الاختيار المعتمد على الوقت: في بعض السيناريوهات في العالم الحقيقي، قد تتغير قيمة اختيار المتقدم بمرور الوقت، مما يتطلب استراتيجيات ديناميكية تتكيف مع العوامل المعتمدة على الوقت.

التطبيقات في العالم الحقيقي

تتمتع مشكلة السكرتير ومتغيراتها بالعديد من التطبيقات في العالم الحقيقي، مما يوضح الأهمية العملية لنظرية التوقف الأمثل. تتضمن بعض التطبيقات البارزة ما يلي:

· توظيف الوظائف: يمكن لأصحاب العمل الذين يسعون إلى توظيف أفضل مرشح من مجموعة من المتقدمين استخدام قاعدة 37% لتحسين قرارات التوظيف الخاصة بهم.

· المواعدة عبر الإنترنت: يمكن للأفراد الذين يبحثون عن شريك حياة تطبيق مبادئ مشكلة السكرتير لتحديد متى يلتزمون بعلاقة.

· الاستثمارات المالية: يمكن للمستثمرين الذين يبحثون عن أفضل فرص الاستثمار استخدام استراتيجيات التوقف الأمثل لتحديد متى يستثمرون أو يبيعون الأصول.

· اتخاذ القرارات الطبية: قد يستخدم الأطباء استراتيجيات مماثلة لتحديد متى يبدأون أو يوقفون العلاجات الطبية بناءً على استجابات المرضى.

· العقارات: يمكن لمشتري المنازل الذين يبحثون عن أفضل عقار تطبيق قواعد مشكلة السكرتير لتحديد متى يقدمون عرضًا.

الأساليب الحسابية

تم استكشاف مشكلة السكرتير أيضًا من خلال الأساليب الحسابية، والاستفادة من الخوارزميات والمحاكاة لإيجاد الحلول المثلى. تتضمن بعض الأساليب الحسابية الشائعة ما يلي:

· البرمجة الديناميكية: يتضمن هذا النهج تقسيم المشكلة إلى مشاكل فرعية أصغر وحلها بشكل متكرر لإيجاد قاعدة التوقف المثلى.

· محاكاة مونت كارلو: من خلال محاكاة المشكلة عدة مرات، يمكن للباحثين تقدير احتمالية النجاح لاستراتيجيات مختلفة وتحديد الاستراتيجية المثلى.

· التعلم الآلي: يمكن استخدام تقنيات التعلم الآلي المتقدمة لتدريب النماذج على البيانات التاريخية والتنبؤ بأفضل قواعد التوقف لمختلف السيناريوهات.

الخلاصة

مشكلة السكرتير هي مشكلة رائعة ومعقدة أسرت علماء الرياضيات وصناع القرار لعقود من الزمان. توفر استراتيجيتها المثلى، قاعدة 37%، أداة قوية لاتخاذ القرارات في بيئات غير مؤكدة. من خلال فهم وتطبيق مبادئ مشكلة السكرتير، يمكن للأفراد والمنظمات تحسين عمليات اتخاذ القرار لديهم وزيادة فرص نجاحهم في سيناريوهات مختلفة في العالم الحقيقي.

سواء كنت تقوم بتعيين موظف جديد، أو تبحث عن شريك حياة، أو تقوم باستثمارات مالية، فإن الدروس المستفادة من مشكلة السكرتير يمكن أن توجهك نحو قرارات أفضل وأكثر استنارة. ومع استمرار البحث واستكشاف متغيرات جديدة، ستظل مشكلة السكرتير حجر الزاوية لنظرية التوقف الأمثل وشهادة على قوة اتخاذ القرار الرياضي.

إقرأ أيضاً:

تاريخ وتطور الألعاب الأولمبية

الأولمبياد: أهم اللحظات في تاريخ الألعاب الأولمبية

التأثير الاقتصادي لاستضافة للألعاب الأولمبية

الرسم والتلوين للأطفال: الفوائد وطرق التشجيع

7 دروس يتعلمها الأطفال من الألعاب الأولمبية

للمزيد

حدوثة قبل النوم قصص للأطفال

كيف تذاكر وتنجح وتتفوق

قصص قصيرة معبرة

قصص قصيرة معبرة 2

معالجة المشكلات السلوكية عند الأطفال والطلاب